Статика та умови рiвноваги

Статика – роздiл механiки, в якому вивчають умови рiвноваги тiл.

Тiла залишаються у станi спокою або рiвномiрного прямолiнiйного руху, якщо сума усiх сил, що дiють на них, дорiвнює нулеві. Це нам вiдомо з першого закону Ньютона. Також, пiсля вивчення попереднiх роздiлiв, ви ще знаєте про обертання тiла, так-от тiло обертається рiвномiрно з постiйною кутовою швидкiстю ω$\omega$, поки до нього не прикладено сил, якi спричиняють появу кутового прискорення. Цi два приклади i формують двi умови рiвноваги тiла, якi ми зараз розглянемо. У цьому роздiлi ми будемо переважно асоцiювати рiвновагу з перебуванням тiла у стані спокою. Це природна та зрозумiла асоцiацiя для повсякденного життя.

Перша умова рiвноваги

Згiдно з другим законом Ньютона, щоб тiло перебувало у станi спокою, сума сил, прикладених до нього, повинна дорiвнювати нулю.

Книга лежить на столi. На неї дiють двi сили: гравiтацiйна mg⃗ $m\overrightarrow{g}$ та сила реакцiї опори N→$\overrightarrow{N_{}}$. Вони компенсують одна одну i таким чином тiло перебуває у стані спокою ∼$\sim$ рiвновазi. Якщо ж, наприклад, книга падає зi столу, то на неї дiє сила тяжiння. У випадках, якi ми розглядали ранiше, ми нехтували силою опору повiтря, та навiть якщо не нехтувати нею, вона менша за силу тяжiння i книга падає з прискоренням близьким до g⇒$g\Rightarrow$ тiло не в рiвновазi.

Визначення

Перша умова рiвноваги: щоб тiло перебувало у станi рiвноваги, сума сил, що дiє на нього, повинна дорiвнювати нулю. 

FΣ→=0$\overrightarrow{F_{\mathrm{\Sigma }}}=0$

Якщо розглядаємо задачу з силами, що дiють в однiй площинi, то суми проекцiй на осі x$x$ та на y$y$ повиннi дорiвнювати нулеві.

FxΣ=0;FyΣ=0$F_{\mathrm{\Sigma }}^x=0;F_{\mathrm{\Sigma }}^y=0$

Друга умова рiвноваги та момент сили

Ще більше відеоматеріалів в онлайн-курсі від розробників цієї книги

Перейти на курс

У попередньому пунктi було розглянуто умову рiвноваги, де головним чином важливо, щоб рiвнодiйна сил дорiвнювала нулеві. Зараз ви зрозумiєте, що це лише одна з умов але її може бути недостатньо.

На рисунку вище зображено поверхню, на якiй закрiплено брусок таким чином, що вiн може обертатися (вiсь обертання на рис.). До протилежних сторiн прикладено однаковi сили.

— Чи в рiвновазi тiло?

— Нi. Адже, в даному випадку тіло обертатиметься із кутовим прискоренням. Тiло виходить зі стану спокою пiд дiєю двох сил i починає обертатися. Кутова швидкiсть змiнюється, тож рiвновага вiдсутня.

Справдi, незважаючи на те, що сума прикладених сил дорiвнює нулеві (маємо двi сили, напрямленi в протилежнi напрямки), рiвновага вiдсутня.

Ще одне важливе спостереження. Нехай тi самi двi сили прикладенi так, як зображено на рисунку вище. Iнтуїтивно зрозумiло, що брусок не буде обертатися i залишиться у станi рiвноваги. З цього конкретного прикладу можна зробити висновок, що є якась величина, яка залежить вiд сили та вiдстанi вiд осi обертання. Ця величина називається моментом сил i перед тим, як отримати другу умову рiвноваги тiла, ми повиннi розглянути це поняття.

Поговоримо про простий приклад iз повсякденного життя. Маємо звичайнi дверi та два випадки. Перший, ручка крiпиться на краю дверей, подалi вiд вiсi обертання. До такої ситуацiї ми звикли, так зазвичай i роблять. У другому випадку ручка прикрiплена ближче до осі обертання.

Якщо ви спробуєте перевiрити, в якому з випадкiв вiдчиняти дверi легше, то пересвiдчитесь, що це вiдбувається, коли ручку розмiщено далi вiд осi обертання. Отже, можна зробити висновок, що iснує величина, яка характеризує обертання тiла, i вона залежить вiд сили, яка прикладається до певної точки цього тiла та вiд вiдстанi до осi обертання.

Визначення

Момент сили M$M$ – величина, яка чисельно дорiвнює добутку модуля прикладеної сили F$F$ та вiдстанi вiд осi обертання до лiнiї дiї цiєї сили. Вiдстань вiд осi обертання до лiнiї дiї сили називається плечем цiєї сили i позначається лiтерою l$l$. Iншими словами, плече сили – перпендикуляр, проведений вiд точки обертання до лiнiї дiї сили.

M=F⋅l$M=F\cdot l$

У SI: H ⋅$\cdot$ м

Момент сили характеризує обертання тiла. Обертання може бути як за годинниковою стрiлкою, так i проти. Домовимося, що якщо маємо перший варiант, то момент сили – додатнiй, якщо проти – вiд’ємний.

Слiд ще пояснити поняття плече сили. Це перпендикуляр, проведений вiд осі обертання до лiнiї дiї сили. Маємо три ситуацiї:

У кожнiй з них є брусок, який по центру має вiсь обертання. Вiдстань вiд осі обертання до точки прикладання сили – R$R$. Важливо розумiти, що плече сили l≠R$l\ne R$. Розглянемо ситуацiї по порядку:

1. Силу F⃗ $\overrightarrow{F}$ прикладено до краю бруска перпендикулярно до R$R$. В такому разі будемо мати обертання за годинниковою стрiлкою, а плече сили l=R$l=R$.
   M=Fl=FR$M=Fl=FR$
2. Силу F→$\overrightarrow{F_{}}$ прикладено пiд певним кутом до R$R$. Плече сили, як вже зазначалося – це перпендикуляр, проведений вiд осі обертання до лiнiї дiї сили. Iз прямокутного трикутника видно, що плече l$l$ – це протилеглий катет до кута мiж R$R$ та F$F$. Отже, l$l$ та R$R$ пов’язує sinα⇒l=Rsinα$\sin \alpha \Rightarrow l=R\sin \alpha$.
   M=Fl=FRsinα$M=Fl=FR\sin \alpha$
   Ви знаєте, що sinα≤1$\sin \alpha \le 1$, це означає що найбiльший момент сили досягається в тому випадку, коли силу прикладено перпендикулярно до R$R$. Наступна ситуацiя фiналiзує це твердження.
3. Кут мiж прикладеною силою F→$\overrightarrow{F_{}}$ та вiдрiзком R$R$ дорівнює 0∘$0^{\circ }$. Iнтуїтивно зрозумiло, що в такiй ситуацiї нiякого обертання не буде взагалi. Це пiдтверджується розглянутою нами теорiєю. Оскільки плече сили дорiвнює l=Rsinα=Rsin0∘=0$l=R\sin \alpha =R\sin 0^{\circ }=0$, отримуємо, що момент сили також дорiвнює нулеві.
   M=Fl=F⋅0=0$M=Fl=F\cdot 0=0$

Отже, пiсля розглянутого поняття моменту сили можна сформулювати другу умову рiвноваги та розглянути деякi приклади.

Визначення

Друга умова рiвноваги: щоб тiло перебувало у станi рiвноваги, сума моменiв сил вiдносно будь-якої нерухомої вiсi повинна дорiвнювати нулю.

MΣ=0$M_{\mathrm{\Sigma }}=0$

Це якраз i є умовою вiдсутностi кутового прискорення α$\alpha$.

Розглянемо використання другої умови рiвноваги на прикладах. Маємо стрижень, який закрiплено на вертикальнiй стiйцi таким чином, що вiн може обертатися. Стрижень однорiдний та має певну масу M$M$. Довжина однiєї подiлки нехай буде умовно: d$d$.

Якщо закрiпити його строго по центру, то обертатися вiн не буде. Ситуацiя вiдповiдає обом умовам рiвноваги.

Перша: сила тяжiння Mg⃗ $M\overrightarrow{g}$ врiвноважена силою реакцiї опори N→$\overrightarrow{N_{}}$. дорiвнюють нулю. Друга: вiдносно точки обертання ми маємо два нульових моменти, адже плече сили Mg⃗ $M\overrightarrow{g}$ та сили N→$\overrightarrow{N_{}}$ дорiвнюють нулеві. Надалi цi двi сили можемо не розглядати, адже на рiвновагу вони впливати не будуть.

Тепер почепимо два вантажi маси m$m$ на краях стрижня.

Iнтуїтивно зрозумiло, що стрижень знову буде перебувати у станi рiвноваги. Розглянемо детальнiше з точки зору умов рiвноваги.

Перша: двi сили mg⃗ $m\overrightarrow{g}$ врiвноважуються силою реакцiї опори N→$\overrightarrow{N_{}}$. Друга: вiдносно точки обертання маємо 2 ненульових моменти. Момент сили тяжiння для першого тiла вiдповiдає обертанню тiла проти годинникової стрiлки, отже, вiн буде зi знаком мiнус. Оскільки сила тяжiння перпендикулярна до лiнiї стрижня, плече сили збігається з вiдстанню вiд вiсi обертання до точки прикладання сили i дорiвнює шести подiлкам – 6d$6d$. Отже, M1=−6d⋅mg$M_1=-6d\cdot mg$. Другий момент має таке саме плече, але вiдповiдає за обертання за годинниковою стрiлкою, отже, ми його запишемо зi знаком «+». M2=6d+mg$M_2=6d+mg$. Легко бачити, що друга умова рiвноваги справдi виконується:

MΣ=M1+M2=−6d⋅mg+6d⋅mg=0$M_{\mathrm{\Sigma }}=M_1+M_2=-6d\cdot mg+6d\cdot mg=0$

Тепер перший вантаж залишемо без змiн, а от справа пiдвiсимо два вантажi на вiдстанi трьох подiлок вiд осi обертання.

Може, iнтуїтивно ще не зрозумiло, але ми маємо знову стан рiвноваги. З першою умовою все, як завжди, зрозумiло, а от другу потрiбно розглянути детальніше.

Момент для першого вантажу не змiнився порівняно з попереднiм прикладом: M1=−6d⋅mg$M_1=-6d\cdot mg$. Момент для подвiйного вантажу: сила = 2mg$2mg$, плече сили = 3d$3d$, обертання за годинниковою стрiлкою ( «+» ). M2=3d⋅2mg=6d⋅mg$M_2=3d\cdot 2mg=6d\cdot mg$. Знову ж таки, друга умова рiвноваги справджується. Загалом це зрозумiло, адже в порiвнянні з першим моментом, тут було в два рази збiльшено силу, але в два рази зменшено плече.

Тепер ще трiшки складнiше :)

Тут вже маємо три ненульових моменти вiдносно осi обертання i знову ж таки маємо стан рiвноваги.

Момент для першого вантажу: сила =mg⃗ $=m\overrightarrow{g}$, плече =3d$=3d$, обертання проти годинникової стрiлки ( «-» ). M1=−3d⋅mg$M_1=-3d\cdot mg$. Момент для другого вантажу: сила =3mg$=3mg$, плече сили =d$=d$, обертання проти годинникової стрiлки ( «-» ). M2=−d⋅3g=−3d⋅mg$M_2=-d\cdot 3g=-3d\cdot mg$. Момент для третього вантажу: сила =2mg$=2mg$, плече =3d$=3d$, обертання за годинниковою стрiлкою ( «+» ). M3=3d⋅2mg=6d⋅mg$M_3=3d\cdot 2mg=6d\cdot mg$. Друга умова рiвноваги виконується:

MΣ=$M_{\mathrm{\Sigma }}=$M1+M2+M3=$M_1+M_2+M_3=$−3dmg−3dmg+6dmg=0$-3dmg-3dmg+6dmg=0$

Задачi на врiвноваження одних вантажiв iншими дуже часто зустрiчаються у шкiльних задачах та в тестах ЗНО. Запитання можуть бути такого типу: де розмiстити додатковий вантаж, щоб система була в рiвновазi чи який вантаж потрiбно почепити на дане мiсце, щоб система перебувала в рiвновазi. Незалежно вiд поставленої задачi, розв’язують її за допомогою запису другої умови рiвноваги.

Правило моментiв дуже часто називають золотим правилом механiки:

«Виграючи у силi, програємо у вiдстані»

Справдi, чим бiльше плече, тим меншу силу потрiбно прикласти, щоб отримати певну величину моменту сили. Навпаки, чим бiльша сила, тим менше плече можна використовувати. Золоте правило механiки було вiдоме ще за часiв Архiмеда. Його вiдома фраза:

«Дайте менi точку опори i я переверну Землю»

Стiйкiсть рiвноваги

Тепер, коли ви добре розумiєте, яким чином досягають рiвноваги i якi умови необхiднi для цього, залишилось розглянути ще один важливий момент – стiйкiсть рiвноваги.

Ще більше відеоматеріалів в онлайн-курсі від розробників цієї книги

Перейти на курс

Нехай тiло перебуває у рiвновазi. Якщо ж змiстити тiло з положення рiвноваги, можливi три варiанти того, що вiдбудеться далi:

Тiло повернеться в положення рiвноваги. Така ситуацiя називається стiйкою рiвновагою. На першому рисунку видно, що в такiй ситуацiї при вiдхиленнi тiла рiвнодiйна сил, яка з’являється, повертає його в рiвноважне положення.


Тiло рухається далi вiд рiвноважного положення i вже в нього не повернеться. Така ситуацiя називається нестiйкою рiвновагою. Рiвнодiйна сил, яка з’являється пiсля вiдхилення тiла, і надалі відхиляє тiло вiд положення рiвноваги.


Змiщення тiла взагалi не призводить до виведення тiла зі стану рiвноваги. Така ситуацiя називається байдужою рiвновагою. Тут річ у тому, що при зсувi тiла ситуацiя не мiняється. Положення рiвноваги зберiгається.