Закон всесвітнього тяжіння

1. Сила тяжіння і прискорення вільного падіння

Силу, з якою тіло притягується до Землі під дією поля тяжіння Землі, називають силою тяжіння.

Розмістимо на висоті h над Землею, радіус якої R3 і маса — М3, тіло масою m (рис. 1).

Рис. 1

Між тілом і Землею діє сила всесвітнього тяжіння:

У цьому випадку F називається силою тяжіння — силою притягання тіла Землею (точніше складовою цієї сили). Ця сила надає тілу прискорення вільного падіння:

Обчислити його можна так:

Якщо підставити значення M і R у формулу (2) і знехтувати висотою тіла над Землею (оскільки вона менша за радіус Землі), то отримаємо:

g0  9,8 м/с2

Унаслідок добового обертання Землі навколо своєї осі сила притягання і сила тяжіння для одного і того самого тіла, що знаходиться на поверхні Землі, відрізняються між собою за модулем і напрямом.

Сила притягання (гравітаційна сила) завжди напрямлена по радіусу до центра Землі, сила тяжінняFт — по лінії відвісу в точці Землі (рис. 1):

Сила тяжіння залежить від широти місця, тому і прискорення вільного падіння має різні значення в різних місцях. Максимальне значення сила тяжіння і, отже, прискорення вільного падіння мають на полюсах Землі, оскільки там R = 0 і доцентрове прискорення дорівнює нулю. На полюсах сила тяжіння дорівнює силі притягання. Мінімальними значення сили тяжіння і прискорення вільного падіння будуть на екваторі.

Сила тяжіння залежить і від географічної широти, оскільки земна куля дещо сплюснута: її полярний радіус менший від екваторіального приблизно на 21,5 км. Однак ця залежність менш суттєва порівняно з добовим обертанням Землі. Розрахунки показують, що через сплюснутість Землі значення прискорення вільного падіння на екваторі менше за його значення на полюсі на 0,18 %, а через добове обертання — на 0,34 %.

Сила тяжіння — сила, з якою Земля притягує до себе тіла:

Силу тяжіння можна розглядати як випадок дії сили всесвітнього тяжіння. Це дає можливість визначити прискорення вільного падіння:

• на будь-якій висоті над поверхнею Землі:

• на будь-якій планеті:

2. Вага тіла

Вага тіла — це сила, з якою тіло діє на горизонтальну опору чи розтягує підвіс, на якій його підвішано, внаслідок притягання Землі (рис. 2, 3):

На тіло, яке знаходиться на горизонтальній опорі (рис. 2), дві сили: сила тяжіння  і сила нормальної реакції опори .

Рис. 2

Рис. 3

На підставі другого закону Ньютона маємо:

А оскільки тіло перебуває в спокої, то

тобто модулі цих сил рівні:

Крім того, за третім законом Ньютона сила реакції опори дорівнює за модулем і протилежна за напрямом силі, з якими тіло діє на опору, тобто вазі тіла.

Вага тіла чисельно дорівнює силі тяжіння, якщо тіло перебуває в спокої і відрізняється від неї лише точкою прикладання (вектор ваги тіла на відміну від сили тяжіння, що має гравітаційну природу, прикладено до опори чи підвісу, а силу тяжіння — до тіла). Оскільки , то вага тіла також залежить від широти місцевості: максимальна на полюсах і мінімальна на екваторі.

3. Вага тіла, яке рухається з прискоренням

Якщо ж тіло чи підвіс будуть рухатись із прискоренням, то вага тіла буде відрізнятись від сили тяжіння, тобто P ≠ mg. Розглянемо це на таких прикладах:

1. Під час руху тіла (людини в ліфті) із прискоренням вага тіла буде дорівнювати (рис. 4, 5):

вниз — P = m(g - a), вгору — P = m(g + a):

Рис. 4

Рис. 5

2. Під час руху тіла по випуклому мосту (рис. 6) доцентрове прискорення буде напрямлене вниз, відповідно вага тіла дорівнюватиме:

Рис. 6

а під час руху тіла по ввігнутому мосту (рис. 7)

                                               

Рис. 7

Невагомість. Під час руху тіла на динамометрі із прискоренням прискорення можна підібрати таким, щоб воно дорівнювало g0 (а = 9,8 м/с чи b2/R = 9,8 м/с2). При цьому вага тіла дорівнюватиме нулю. У цьому стані тіло не тисне на опору і не розтягує підвіс (динамометр показує 0), тобто перебуває в стані невагомості.

Невагомість — стан механічної системи, за якого дія на систему зовнішніх сил не спричиняє взаємного тиску частинок цієї системи. При цьому всі частинки даної системи перебувають у невагомості і вага тіла дорівнює нулю, а діє лише сила тяжіння. У цьому випадку сила тяжіння виявляється лише динамічно, надаючи всій системі і тілам (тілу, опорі або підвісу), які знаходяться в ній, однакового прискорення.

Взагалі тіло під дією зовнішніх сил перебуватиме у стані невагомості в тому разі, якщо:

• дія зовнішніх сил є силою тяжіння;

• сили поля тяжіння надають всім частинкам тіла однакового прискорення у будь-якому його положенні;

• початкові швидкості всіх частинок тіла однакові.

Досліди з тілом, підвішеним до динамометра, підтверджують також попередні розрахунки ваги.

Вага тіла, напрям прискорення якого збігається з напрямом прискорення вільного падіння, менша за вагу тіла під час його перебування в спокої.

Перевантаження. Якщо прискорення тіла напрямлене в бік, протилежний прискоренню вільного падіння, його вага стає більшою від ваги тіла під час його перебування в спокої. Збільшення ваги тіла, зумовлене його прискореним рухом, називають перевантаженням, тобто відношенням сили, з яким тіло діє на опору під час прискореного руху вгору або сповільненого вниз, до його ваги в ІСВ.

Перевантаження, наприклад, зазнає пілот, що виводить літак з пікірування (рис. 8). У нижній частині траєкторії літак рухається по колу з доцентровим прискоренням, напрямленим до його центра по вертикалі вгору.

Рис. 8

Абсолютне значення прискорення:

Але його проекція на вертикальну вісь, напрямлену вниз, від’ємна:

Тому вагу пілота, тобто силу, з якою він діє на опору (крісло), визначають за формулою:

Таким чином, вага пілота більша від його «нормальної» ваги, що дорівнює mg, на величину , тобто пілот зазнає перевантаження. Якщо під час виходу із пікірування доцентрове прискорення  перевищує за абсолютним значенням прискорення вільного падіння g у n разів , то вага пілота:

тобто вона буде в (n +1) разів більшою від нормальної ваги пілота.

Під час перевантаження збільшують свою вагу і внутрішні органи організму пілота, збільшується сила, з якою вони діють один на одного і на його кістяк (скелет). Це викликає больові відчуття, а надмірні перевантаження можуть стати небезпечними для здоров’я. Треновані пілоти витримують перевантаження до 10mg (зазвичай перевантаження виражають не через величину mg, а через величину g і говорять, що перевантаження дорівнює, наприклад, 10g). Здорова людина може без шкоди для організму витримувати короткочасні триразові перевантаження, тобто збільшення ваги в 3 рази.

Перевантаження зазнають також космонавти під час запуску космічного корабля. У стані невагомості вони перебувають на орбіті.

Це цікаво знати

Не тільки супутники...

...обертаються в цей час навколо Землі. За оцінками вчених, скопичилося понад 110 тисяч «сміттєвих» предметів розміром більше 1 см у діаметрі й 40 мільйонів предметів, розмір яких перевищує 1 мм. Це насамперед непрацюючі супутники, метале­ві частинки космічних апаратів, дрібні частинки, що утворили­ся в результаті згоряння ракетного палива. Тим часом металева порошинка діаметром усього 0,5 мм, що несеться зі швидкістю 10 км/с, здатна пробити скафандр космонавта. У 1983 р. лусочка фарби діаметром 0,2 мм надщербила вітрове скло американського «Шаттла». Якщо кількість сміття на орбіті Землі збільшувати­меться такими ж темпами, то до 2300 року жоден демтшй апарат не зможе вийти навіть на орбіту.

Читаємо класиків

От як описує К. Е. Ціолковський у своїй науково-фантастичній розповіді «На Весті» умови перебування людини на астероїді Веста, маса якого у 60000 разів менша за масу Землі: «На Землі я можу вільно нести одну людину такої ж ваги, як я. <...> На Весті з такою ж легкістю можу нести у ЗО разів більше, тобто 60 чоло­вік <...>. На Землі <...> я можу ще підстрибнути на 50 см. <...> На Весті таке ж зусилля дає стрибок на висоту в 30 разів більшу, тобто 30 м. Це — висота десятиповерхового будинку, величенної сосни або чималого пагорба. <...> гам легко перестрибувати через рови і ями шириною в чималу річку. Можна перестрибувати че­рез 15-метрові дерева і будинки. І це без розбігу».

Тварини-космонавти

У невагомості голуб втрачає просторову орієнтацію, безладно махає крилами; риби в акваріумі крутяться, як балерини, всере­дині кулі, у якій зібралася вода.