Рух тіла по колу. Період і частота обертання. Кутова швидкість

Найпростішим видом криволінійного поступального руху тіла є його рух по колу, коли всі точки цього тіла рухаються по однакових колах. Такий рух зустрічається досить рідко: так рухаються кабінки оглядових коліс у міських парках. Водночас будь-який складний криволінійний рух тіла на досить малій ділянці його траєкторії можна наближено розглядати як рівномірний рух по колу. Тому вивчати довільний криволінійний рух треба починати від простішого: вивчення рівномірного руху по колу. Прикладами рівномірного руху по колу можна наближено вважати: рух штучних супутників Землі, рух обертових частин у механізмах тощо.

Почнемо вивчення цього руху з важливої кінематичної величини — миттєвої швидкості. Миттєва швидкість у будь-якій точці криволінійної траєкторії руху тіла напрямлена по дотичній до траєкторії в цій точці.

У цьому можна переконатися, спостерігаючи за роботою на точилі. Якщо притиснути до обертового точильного каменя кінець сталевої дротини, то ви побачите, як розжарені частинки відриваються від каменя у вигляді іскор. Ці частинки летять з тією швидкістю, яку вони мали в момент відривання від каменя. Напрям руху іскор збігається з дотичною до кола в тій точці, де дротина торкається каменя. По дотичній до кола рухаються також бризки від коліс автомобіля, що пробуксовує.

Модуль миттєвої швидкості під час рівномірного руху по колу з плином часу не змінюється. Рівномірним рухом по колу називають рух, під час якого тіло (матеріальна точка) за будь-які рівні проміжки часу проходить однакові відрізки дуг. Прикладами рівномірного руху по колу можна наближено вважати: рух штучних супутників Землі, рух частин, що обертаються в механізмах тощо. Швидкість такого руху матеріальної точки по лінії (колу) за модулем є сталою і в кожній точці кола напрямлена по дотичній.

Положення точки A, що рухається вздовж кола, визначають радіус-вектором , проведеним з центра кола O до цієї точки (рис. 1). Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусу цього кола R.

Рис. 1

Рис. 2

Швидкість руху тіла по колу (лінійну швидкість) за аналогією з рівномірним прямолінійним рухом можна знайти за формулою:

де l — довжина дуги кола, пройденої матеріальною точкою за час t (рис. 2).

Нехай тіло здійснить один оберт по колу, тоді формула для визначення швидкості набуде вигляду:

де T — це час одного оберту по колу радіусом R. Цей час називають періодом обертання. Лінійну швидкість вимірюють у метрах за секунду (м/с).

Набагато частіше в природі й техніці зустрічається обертальний рух тіла, коли нерухомою залишається одна точка або сукупність точок, що лежать на осі обертання. Таким є рух дзиґи, колеса нерухомого велосипеда, стрілок годинника тощо. Під час обертання навколо нерухомої осіO різні точки 1, 2, 3 тіла (рис. 3) матимуть різні лінійні швидкості 1, 2, 3, тому не можна говорити про швидкість тіла. Бажано знайти такі характеристики обертального руху тіла, які були б спільними, однаковими для всіх його точок.

Рис. 3

Рис. 4

Як видно з рис. 3, кожна з точок цього диска має свою лінійну швидкість, бо за один і той же час вони проходять відповідно відрізки дуг l1 > l2 > l3. Однаковою для цих точок буде кутова швидкість обертання. Кутова швидкість ω точки, що рівномірно рухається по колу, чисельно дорівнює відношенню кута φ, на який повертається радіус-вектор, до часу t і залишається сталою:

У фізиці кути вимірюють у радіанах (рад). Щоб знайти значення кута ф у радіанах слід провести з його вершини довільну дугу і знайти відношення довжини цієї дуги до радіуса R (рис. 4):

Отже, одиницею вимірювання кутової швидкості є 1 рад/с, що відповідає швидкості точки, яка обертається рівномірно й радіус-вектор якої за 1 с описує кут в 1 рад. А формула для одного оберту по колу набуде вигляду:

Величину, обернену до періоду обертання, називають частотою обертання і вимірюють кількістю обертів за одиницю часу ([ν] = 1/c):

Для довільної кількості обертів частоту обертання знаходять за формулою:

де N — кількість обертів, t — час обертання тіла.

Після підстановки виразу для частоти обертання маємо:

Знайдемо співвідношення лінійної і кутової швидкостей на підставі формули:

Оскільки лінійна швидкість змінюється за напрямом, то матеріальна точка, що рухається по колу, набуває прискорення. Прискорення тіла, яке рівномірно рухається по колу, у будь-якій його точці є доцентровим, тобто напрямлене по радіусу кола до його центра. У будь-якій точці вектор прискорення перпендикулярний до вектора швидкості. Цю особливість прискорення рівномірного руху по колу зображено на рис. 5.

Чому дорівнює модуль доцентрового прискорення? Числове значення (модуль) прискорення можна легко знайти з рис. 5.

Рис. 5

Трикутник, утворений векторами 0,  і Δ, рівнобедрений, бо  = 0. Трикутник OAB на рис. 5 також рівнобедрений, оскільки сторони OA і OB — радіуси кола. Кути при вершинах обох трикутників рівні, бо вони утворені взаємно перпендикулярними сторонами: 0OA і OB. Тому трикутники подібні як рівнобедрені з рівними кутами при вершинах. З подібності трикутників випливає пропорційність відповідних сторін:

де  і Δ — модулі швидкості й зміни швидкості під час переходу з точки A в точку B, R — радіус кола. Якщо точки A і B дуже близькі одна до одної, то хорду AB не можна відрізнити від дуги AB. А довжина дуги AB — це шлях, пройдений тілом зі сталою за модулем швидкістю . Він дорівнює t. Тому можна записати:

Оскільки інтервал часу t, що розглядається, дуже малий, то Δ/t — це модуль прискорення. Отже,

Інші вирази для доцентрового прискорення:

Таким чином, під час рівномірного руху по колу в усіх точках кола доцентрове прискорення за модулем однакове. Проте напрямлене воно завжди по радіусу до центра (рис. 6) так, що напрям прискорення від точки до точки змінюється. Тому рівномірний рух тіла по колу не можна вважати рівноприскореним.