Вільне падіння тіл.

Вільне падіння тіл — це окремий випадок прямолінійного рівноприскореного руху без початкової швидкості. Вільне падіння — це рух тіл у вакуумі під дією однієї сили — сили тяжіння . Прискорення при цьому однакове для всіх тіл. Цей факт підтверджується експериментально. Помістимо в трубку три різні предмети (свинцеву шротинку, корок і пташину пір’їнку). Потім швидко перевернемо трубку. Усі три тіла впадуть на її дно в такій послідовності: шротинка, корок і пір’їна (рис. 1). Так падають тіла тоді, коли в трубці є повітря. Якщо ж повітря з трубки відкачати насосом (рис. 2) і, закривши після відкачування кран, знову перевернути трубку (рис. 3), всі три тіла впадуть одночасно. Це й свідчить, що у вакуумі всі тіла падають з однаковим прискоренням.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Приклади різних випадків вільного падіння (рис. 4):

Рис. 4

Способи вимірювання прискорення земного тяжіння (вільного падіння):

1. За допомогою математичного маятника шляхом вимірювання його довжини і періоду коливаньT.

2. Вимірювання часу вільного падіння без початкової швидкості і використання формули:

Основні формули для вільного падіння без початкової швидкості:

Основні формули для тіла, яке у початковий момент мало вертикально напрямлену швидкість 0:

(знак «-» — для тіла, кинутого вертикально вгору, знак « + » — для тіла, кинутого вертикально вниз).

На прискорення вільного падіння впливають:

• обертання Землі навколо власної осі: максимальне значення  на полюсах, мінімальне  на екваторі;

• деформації Землі: на зменшення значення g0 на екваторі впливає і те, що екваторіальний радіус Землі більший від полярного;

• значення g0 більше на довільній широті, там, де містяться поклади залізної й інших важких руд, менше — над родовищами газу.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору,— це рух з прискоренням вільного падіння, яке, як завжди, напрямлене вертикально вниз. Під час піднімання напрям швидкості протилежний до напряму прискорення, отже, швидкість зменшується від початкового значення 0 до нуля. У цьому разі під час розв’язування задач можна початок координат осі Oy поєднати з початком положення тіла на поверхні Землі і спрямувати вісь вертикально вгору. Тоді загальне рівняння руху матиме вигляд:

Отже, якщо тіло, кинуте вертикально вгору з початковою швидкістю , його миттєва швидкість  за модулем зменшується (під час піднімання до найвищої точки), і рух описується так:

Максимальна висота піднімання hmax і час t1 піднімання до цієї висоти:

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю 0 з висоти h над Землею (рис. 5) і під кутом α до горизонту з початковою швидкістю  (рис. 6). Такі рухи складаються з двох незалежних один від одного рухів: рівномірного в горизонтальному напрямі (рух за інерцією) і рівноприскореного у вертикальному напрямі (вільне падіння внаслідок притягання до Землі).

Рис. 5

Рівняння руху в горизонтальному напрямі:

де x — проекція швидкості 0 на вісь Ox; x = 0.

Рух тіла у вертикальному напрямі (вздовж осі Oy) є вільним падінням, тому рівняння руху по осіOy:

Вилучивши час з рівнянь руху, можна отримати рівняння траєкторії, яке виражає зв’язок між координатами х і у:

Отже, траєкторією руху тіла, кинутого горизонтально, є парабола.

У будь-який момент часу швидкість  напрямлена по дотичній до траєкторії. Розкладемо вектор  на горизонтальну x і вертикальну y складові. Модуль горизонтальної складової швидкості у будь-який момент часу залишається сталим: x = 0, а модуль вертикальної складової лінійно зростає з часом: y = gt. Оскільки , модуль швидкості  у будь-який момент польоту дорівнює:

Час падіння до поверхні Землі:

Дальність польоту:

Модуль швидкості падіння поблизу поверхні Землі:

Згідно з рис. 5 можна знайти кут α, під яким напрямлено швидкість тіла біля поверхні Землі:

Якщо тілу надати початкової швидкості  під кутом α до горизонту, то його рух буде криволінійним (рис. 6). Форму траєкторії такого руху відтворює струмінь води, спрямований під кутом до горизонту. Спочатку зі збільшенням кута α струмина б’є далі і далі. При куті 45° до горизонту дальність найбільша (якщо не враховувати опір повітря). Зі збільшенням кута дальність зменшується. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, є результатом складання двох рухів: рівномірного прямолінійного зі швидкістю x у горизонтальному напрямі та рівнозмінного з початковою швидкістю y, напрямленою вертикально вгору. Модуль незмінної горизонтальної складової швидкості: x = 0 cosα.

Модуль вертикальної складової весь час змінюється і визначається із рівняння:

Вектор результуючої швидкості:

Рис. 6

Числове значення результуючої швидкості:

Вектор результуючої швидкості утворює з горизонтом кут α, що змінюється з часом:

Час t1 від початку руху тіла до точки максимального підняття, де y = 0:

Висота, на яку підніметься тіло за довільний відтинок часу, протягом якого триває політ:

Якщо замість t підставити вираз для часу підняття, то матимемо формулу максимальної висоти підняття:

Час підняття дорівнює часу падіння з висоти Hmax. Повний час польоту по параболі:

Дальність польоту в горизонтальному напрямі:

За рівняннями руху тіла в горизонтальному і вертикальному напрямах знайдемо рівняння траєкторії результуючого руху тіла:

Дальність польоту s буде найбільшою за умови, що sinα = 1, тобто коли α = 45°. За наявності опору повітря траєкторія польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту, буде не параболою, а балістичною кривою. Дальність польоту при цьому буде меншою від обчисленої за формулою.